pushing final oblig

Oblig/3c/latex/sections/task2_kap17_1d.tex

@@ -0,0 +1,72 @@
+\section{Oppgave 2: Kapittel 17, oppgave 1d}
+
+I denne oppgaven bruker vi observasjonene
+\[
+\{(0,0), (1,2), (2,7), (3,5)\},
+\]
+og vi antar nøytral prior for usikkerheten.
+
+\subsection{Tema}
+Temaet er Bayesiansk lineær regresjon når \(\sigma\) er ukjent. Da bruker vi de nøytrale
+hyperparametrene fra boka.
+
+\subsection{Prior og hyperparametre}
+Ved nøytral prior setter vi
+\[
+\nu_0 = -2,
+\qquad
+SS_0 = 0.
+\]
+Dermed er det dataene alene som bestemmer posterioren.
+
+\subsection{Posterior for \(\tau\)}
+Posteriorfordelingen blir igjen
+\[
+\tau \mid \text{data} \sim \Gamma\!\left(\frac{\nu_1}{2}, \frac{SS_1}{2}\right),
+\]
+der \(\nu_1 = \nu_0 + n\) og \(SS_1 = SS_0 + SSe\).
+
+\subsection{Posterior for \(y(x)\)}
+For regresjonslinjen får vi
+\[
+y(x)\mid \text{data}
+\sim
+t\!\left(\alpha_0 + \beta x,\;
+s_1\sqrt{\frac{1}{n} + \frac{(x-\bar{x})^2}{SS_x}},\;
+\nu_1\right).
+\]
+
+\subsection{Prediktiv fordeling for \(Y_+(x)\)}
+For en ny observasjon får vi
+\[
+Y_+(x)\mid \text{data}
+\sim
+t\!\left(\alpha_0 + \beta x,\;
+s_1\sqrt{1 + \frac{1}{n} + \frac{(x-\bar{x})^2}{SS_x}},\;
+\nu_1\right).
+\]
+
+\subsection{Intervallestimater}
+Oppgaven ber om \(90\%\)-kredibilitetsintervall og \(95\%\)-prediktivt intervall. Disse blir
+\[
+I_{0.10}(x)
+=
+\alpha_0 + \beta x
+\pm
+t_{\nu_1,0.05}\,
+s_1\sqrt{\frac{1}{n} + \frac{(x-\bar{x})^2}{SS_x}},
+\]
+og
+\[
+I^+_{0.05}(x)
+=
+\alpha_0 + \beta x
+\pm
+t_{\nu_1,0.025}\,
+s_1\sqrt{1 + \frac{1}{n} + \frac{(x-\bar{x})^2}{SS_x}}.
+\]
+
+\subsection{Kommentar}
+Forskjellen fra oppgave 1c er at vi nå ikke legger inn noen forhåndsinformasjon om
+usikkerheten. Det gir en mer datadrevet analyse, og intervallene blir derfor bestemt av
+spredningen i observasjonene alene.