73 lines
1.6 KiB
TeX
73 lines
1.6 KiB
TeX
\section{Oppgave 2: Kapittel 17, oppgave 1d}
|
|
|
|
I denne oppgaven bruker vi observasjonene
|
|
\[
|
|
\{(0,0), (1,2), (2,7), (3,5)\},
|
|
\]
|
|
og vi antar nøytral prior for usikkerheten.
|
|
|
|
\subsection{Tema}
|
|
Temaet er Bayesiansk lineær regresjon når \(\sigma\) er ukjent. Da bruker vi de nøytrale
|
|
hyperparametrene fra boka.
|
|
|
|
\subsection{Prior og hyperparametre}
|
|
Ved nøytral prior setter vi
|
|
\[
|
|
\nu_0 = -2,
|
|
\qquad
|
|
SS_0 = 0.
|
|
\]
|
|
Dermed er det dataene alene som bestemmer posterioren.
|
|
|
|
\subsection{Posterior for \(\tau\)}
|
|
Posteriorfordelingen blir igjen
|
|
\[
|
|
\tau \mid \text{data} \sim \Gamma\!\left(\frac{\nu_1}{2}, \frac{SS_1}{2}\right),
|
|
\]
|
|
der \(\nu_1 = \nu_0 + n\) og \(SS_1 = SS_0 + SSe\).
|
|
|
|
\subsection{Posterior for \(y(x)\)}
|
|
For regresjonslinjen får vi
|
|
\[
|
|
y(x)\mid \text{data}
|
|
\sim
|
|
t\!\left(\alpha_0 + \beta x,\;
|
|
s_1\sqrt{\frac{1}{n} + \frac{(x-\bar{x})^2}{SS_x}},\;
|
|
\nu_1\right).
|
|
\]
|
|
|
|
\subsection{Prediktiv fordeling for \(Y_+(x)\)}
|
|
For en ny observasjon får vi
|
|
\[
|
|
Y_+(x)\mid \text{data}
|
|
\sim
|
|
t\!\left(\alpha_0 + \beta x,\;
|
|
s_1\sqrt{1 + \frac{1}{n} + \frac{(x-\bar{x})^2}{SS_x}},\;
|
|
\nu_1\right).
|
|
\]
|
|
|
|
\subsection{Intervallestimater}
|
|
Oppgaven ber om \(90\%\)-kredibilitetsintervall og \(95\%\)-prediktivt intervall. Disse blir
|
|
\[
|
|
I_{0.10}(x)
|
|
=
|
|
\alpha_0 + \beta x
|
|
\pm
|
|
t_{\nu_1,0.05}\,
|
|
s_1\sqrt{\frac{1}{n} + \frac{(x-\bar{x})^2}{SS_x}},
|
|
\]
|
|
og
|
|
\[
|
|
I^+_{0.05}(x)
|
|
=
|
|
\alpha_0 + \beta x
|
|
\pm
|
|
t_{\nu_1,0.025}\,
|
|
s_1\sqrt{1 + \frac{1}{n} + \frac{(x-\bar{x})^2}{SS_x}}.
|
|
\]
|
|
|
|
\subsection{Kommentar}
|
|
Forskjellen fra oppgave 1c er at vi nå ikke legger inn noen forhåndsinformasjon om
|
|
usikkerheten. Det gir en mer datadrevet analyse, og intervallene blir derfor bestemt av
|
|
spredningen i observasjonene alene.
|