\section{Oppgave 2: Kapittel 17, oppgave 1d}

I denne oppgaven bruker vi observasjonene
\[
\{(0,0), (1,2), (2,7), (3,5)\},
\]
og vi antar nøytral prior for usikkerheten.

\subsection{Tema}
Temaet er Bayesiansk lineær regresjon når \(\sigma\) er ukjent. Da bruker vi de nøytrale
hyperparametrene fra boka.

\subsection{Prior og hyperparametre}
Ved nøytral prior setter vi
\[
\nu_0 = -2,
\qquad
SS_0 = 0.
\]
Dermed er det dataene alene som bestemmer posterioren.

\subsection{Posterior for \(\tau\)}
Posteriorfordelingen blir igjen
\[
\tau \mid \text{data} \sim \Gamma\!\left(\frac{\nu_1}{2}, \frac{SS_1}{2}\right),
\]
der \(\nu_1 = \nu_0 + n\) og \(SS_1 = SS_0 + SSe\).

\subsection{Posterior for \(y(x)\)}
For regresjonslinjen får vi
\[
y(x)\mid \text{data}
\sim
t\!\left(\alpha_0 + \beta x,\;
s_1\sqrt{\frac{1}{n} + \frac{(x-\bar{x})^2}{SS_x}},\;
\nu_1\right).
\]

\subsection{Prediktiv fordeling for \(Y_+(x)\)}
For en ny observasjon får vi
\[
Y_+(x)\mid \text{data}
\sim
t\!\left(\alpha_0 + \beta x,\;
s_1\sqrt{1 + \frac{1}{n} + \frac{(x-\bar{x})^2}{SS_x}},\;
\nu_1\right).
\]

\subsection{Intervallestimater}
Oppgaven ber om \(90\%\)-kredibilitetsintervall og \(95\%\)-prediktivt intervall. Disse blir
\[
I_{0.10}(x)
=
\alpha_0 + \beta x
\pm
t_{\nu_1,0.05}\,
s_1\sqrt{\frac{1}{n} + \frac{(x-\bar{x})^2}{SS_x}},
\]
og
\[
I^+_{0.05}(x)
=
\alpha_0 + \beta x
\pm
t_{\nu_1,0.025}\,
s_1\sqrt{1 + \frac{1}{n} + \frac{(x-\bar{x})^2}{SS_x}}.
\]

\subsection{Kommentar}
Forskjellen fra oppgave 1c er at vi nå ikke legger inn noen forhåndsinformasjon om
usikkerheten. Det gir en mer datadrevet analyse, og intervallene blir derfor bestemt av
spredningen i observasjonene alene.