\section{Oppgave 3: Terningdropp}

\subsection{Tema}
Her studerer vi sammenhengen mellom dropphøyde \(x\) og hvor langt terningen spretter
ut fra veggen \(y\). Vi bruker nøytrale priorhyperparametre og analyserer datasettet med
Bayesiansk lineær regresjon.

\subsection{Datagrunnlag}
Dataene er hentet fra alle CSV-filene i mappen \texttt{terningDroppFiler}. Siden filene
bruker litt ulike kolonnenavn, er de først normalisert i R-skriptet slik at vi får felles
variabler for dropphøyde \(x\), sprettlengde \(y\) og terningverdi \(z\).

Listing~\ref{lst:task3-import} viser delen av skriptet som leser inn filene og standardiserer
kolonnenavnene før analysen.

\begin{listing}[H]
\begin{minted}{r}
read_dice_file <- function(path) {
  raw_df <- read.csv(path, check.names = FALSE, fileEncoding = "UTF-8-BOM")
  raw_df <- raw_df[, colSums(!is.na(raw_df)) > 0, drop = FALSE]

  original_names <- names(raw_df)
  clean_names <- vapply(original_names, standardize_name, character(1))

  rename_map <- c(
    "k" = "k",
    "dropp" = "x",
    "dropphoyde" = "x",
    "x" = "x",
    "lengde" = "y",
    "sprettlengde" = "y",
    "y" = "y",
    "verdi" = "z",
    "terningverdi" = "z",
    "z" = "z",
    "tid" = "t",
    "t" = "t"
  )

  mapped_names <- rename_map[clean_names]
  names(raw_df) <- ifelse(is.na(mapped_names), clean_names, mapped_names)

  keep <- intersect(c("k", "x", "y", "z", "t"), names(raw_df))
  out <- raw_df[, keep, drop = FALSE]
  out$source_file <- basename(path)

  for (name in setdiff(names(out), "source_file")) {
    out[[name]] <- suppressWarnings(as.numeric(out[[name]]))
  }

  out
}

read_all_dice_data <- function(folder) {
  files <- list.files(folder, pattern = "\\.csv$", full.names = TRUE)
  df_list <- lapply(files, read_dice_file)
  combined <- do.call(rbind, df_list)
  rownames(combined) <- NULL
  combined
}
\end{minted}
\caption{R-kode for innlesing og standardisering av terningdropp-data}
\label{lst:task3-import}
\end{listing}

\subsection{a) Punktsky og regresjonslinje}
Først tegnes alle datapunktene i et spredningsdiagram, og den lineære regresjonslinjen
legges oppå.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{images/task3_scatter_regression.png}
    \caption{Punktsky for terningdropp med regresjonslinje.}
\end{figure}

\subsection{b) Posterior- og prediktive fordelinger}
Med nøytral prior setter vi
\[
\nu_0 = -2,
\qquad
SS_0 = 0.
\]
Da får vi posteriorfordelingene
\[
\tau \mid \text{data} \sim \Gamma\!\left(\frac{\nu_1}{2}, \frac{SS_1}{2}\right),
\]
\[
b \mid \text{data}
\sim
t\!\left(\beta,\; s_1 \sqrt{\frac{1}{SS_x}},\; \nu_1\right),
\]
\[
y(x)\mid \text{data}
\sim
t\!\left(\alpha_0 + \beta x,\;
s_1\sqrt{\frac{1}{n} + \frac{(x-\bar{x})^2}{SS_x}},\; \nu_1\right),
\]
og
\[
Y_+(x)\mid \text{data}
\sim
t\!\left(\alpha_0 + \beta x,\;
s_1\sqrt{1 + \frac{1}{n} + \frac{(x-\bar{x})^2}{SS_x}},\; \nu_1\right).
\]
Siden \(\sigma = 1/\sqrt{\tau}\), kan vi også utlede posterior usikkerhet for \(\sigma\).

\subsection{c) 80\% kredibilitetsintervall for stigningstallet \(b\)}
Intervallestimatet finnes fra posteriorfordelingen til \(b\):
\[
b \in
\left[
\beta - t_{\nu_1,0.1}\, s_1 \sqrt{\frac{1}{SS_x}},
\;
\beta + t_{\nu_1,0.1}\, s_1 \sqrt{\frac{1}{SS_x}}
\right].
\]
De numeriske verdiene leses ut fra R-skriptet.

\subsection{d) 80\% kredibilitetsintervall for standardavviket \(\sigma\)}
Her bruker vi sammenhengen mellom \(\sigma^2\) og \(\chi^2\)-fordelingen. Intervallet
kan beregnes direkte i R ut fra \(SS_1\) og \(\nu_1\).

\subsection{e) 80\% kredibilitetsintervall for \(y(x)\)}
For hver verdi av \(x\) får vi
\[
I_{0.20}(x)
=
\alpha_0 + \beta x
\pm
t_{\nu_1,0.1}\,
s_1\sqrt{\frac{1}{n} + \frac{(x-\bar{x})^2}{SS_x}}.
\]

\subsection{f) Kurver over og under regresjonslinjen}
Intervallet i punkt e) gir to kurver: en øvre og en nedre. Disse plottes sammen med
regresjonslinjen.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{images/task3_credible_band.png}
    \caption{80\% kredibilitetsbånd for \(y(x)\).}
\end{figure}

\subsection{g) Forklaringsgrad \(R^2\)}
Forklaringsgraden
\[
R^2 = 1 - \frac{SSe}{SS_y}
\]
forteller hvor stor del av variasjonen i \(y\) som forklares av regresjonslinjen. Denne
kan enten beregnes direkte fra sums of squares eller hentes fra \texttt{lm()} i R.

\subsection{h) Regresjon mellom \(z\) og \(x\), og mellom \(t\) og \(x\)}
Oppgaven ber om en sammenligning av \(R^2\) for
\[
z \text{ mot } x
\qquad \text{og} \qquad
t \text{ mot } x.
\]
I de tilgjengelige CSV-filene finnes det tydelige kolonner for \(x\), \(y\) og \(z\), men
ingen entydig kolonne for \(t\). Derfor kan analysen for \(z\) gjennomføres direkte, mens
delen om \(t\) må enten utelates eller suppleres dersom tidsmålingene finnes i en annen fil.

\subsection{R-kode}
Listing~\ref{lst:task3-r} viser delen av skriptet som utfører regresjonen, skriver ut
intervallene og lager figurene til oppgave 3.

\begin{listing}[H]
\begin{minted}{r}
dice_df <- read_all_dice_data(file.path(script_dir, "terningDroppFiler"))
dice_df <- dice_df[complete.cases(dice_df[, intersect(c("x", "y", "z"), names(dice_df)), drop = FALSE]), ]

dice_fit <- fit_simple_regression(dice_df$x, dice_df$y, nu0 = -2, SS0 = 0)
x_grid <- seq(min(dice_df$x), max(dice_df$x), length.out = 300)
cred_band_80 <- credible_band(dice_fit, x_grid, level = 0.80)
pred_band_80 <- predictive_band(dice_fit, x_grid, level = 0.80)

cat("\nTask 3: Dice drop data\n")
cat("----------------------\n")
cat("Number of observations =", nrow(dice_df), "\n")
cat("Regression line: y =", round(dice_fit$alpha0, 4), "+", round(dice_fit$beta, 4), "* x\n")
cat("80% interval for b:", paste(round(b_interval(dice_fit, 0.80), 4), collapse = " to "), "\n")
cat("80% interval for sigma:", paste(round(sigma_interval(dice_fit, 0.80), 4), collapse = " to "), "\n")
cat("R^2 for y on x =", round(r_squared(dice_df$x, dice_df$y), 4), "\n")
cat("R^2 for z on x =", round(r_squared(dice_df$x, dice_df$z), 4), "\n")

plot_regression_with_band(
  df = dice_df,
  fit = dice_fit,
  band_df = cred_band_80,
  file_name = "task3_credible_band.png",
  ylab = "Sprettlengde",
  band_label = "Dice drop data with 80% credible band"
)
\end{minted}
\caption{R-kode for analyse og figurer i terningdropp-oppgaven}
\label{lst:task3-r}
\end{listing}