pushing final oblig

Oblig/3c/latex/sections/task1_kap17_1c.tex

@@ -0,0 +1,103 @@
+\section{Oppgave 1: Kapittel 17, oppgave 1c}
+
+I denne oppgaven bruker vi observasjonene
+\[
+\{(2,10), (3,8), (4,8), (6,7)\},
+\]
+og vi er gitt \(\sigma_0 = 0.5\) og \(n_0 = 4\).
+
+\subsection{Tema}
+Temaet er Bayesiansk lineær regresjon med informativ prior for usikkerheten. Vi skal
+finne posteriorfordelingen til \(\tau\), posteriorfordelingen til \(y(x)\),
+prediktiv fordeling for \(Y_+(x)\), samt tilhørende intervallestimater.
+
+\subsection{Prior og hyperparametre}
+Siden \(\sigma_0 = 0.5\) og \(n_0 = 4\), får vi
+\[
+\nu_0 = n_0 - 2 = 2,
+\qquad
+SS_0 = \sigma_0^2 \nu_0 = 0.5^2 \cdot 2 = 0.5.
+\]
+Dette brukes videre sammen med regresjonsstatistikkene fra datasettet.
+
+\subsection{Posterior for \(\tau\)}
+Når regresjonslinjen er estimert, får vi posteriorfordelingen
+\[
+\tau \mid \text{data} \sim \Gamma\!\left(\frac{\nu_1}{2}, \frac{SS_1}{2}\right).
+\]
+Her settes de konkrete tallene inn fra R-skriptet.
+
+\subsection{Posterior for \(y(x)\)}
+For en vilkårlig verdi \(x\) får vi
+\[
+y(x)\mid \text{data}
+\sim
+t\!\left(\alpha_0 + \beta x,\;
+s_1\sqrt{\frac{1}{n} + \frac{(x-\bar{x})^2}{SS_x}},\;
+\nu_1\right).
+\]
+De konkrete parameterverdiene kan hentes fra skriptet og settes inn her.
+
+\subsection{Prediktiv fordeling for \(Y_+(x)\)}
+Den prediktive fordelingen for en ny observasjon er
+\[
+Y_+(x)\mid \text{data}
+\sim
+t\!\left(\alpha_0 + \beta x,\;
+s_1\sqrt{1 + \frac{1}{n} + \frac{(x-\bar{x})^2}{SS_x}},\;
+\nu_1\right).
+\]
+
+\subsection{Intervallestimater}
+Et \(95\%\)-kredibilitetsintervall for regresjonslinjen er
+\[
+I_{0.05}(x)
+=
+\alpha_0 + \beta x
+\pm
+t_{\nu_1,0.025}\,
+s_1\sqrt{\frac{1}{n} + \frac{(x-\bar{x})^2}{SS_x}}.
+\]
+Et \(95\%\)-prediktivt intervall fås tilsvarende ved å legge til \(1\) inne i roten.
+
+\subsection{Kommentar}
+Denne oppgaven er en direkte anvendelse av formlene i kapittel 17. Hovedpoenget er
+at vi kombinerer observasjonene med en svak informativ prior for usikkerheten, og
+deretter leser av posterior- og prediktive fordelinger fra de oppdaterte hyperparametrene.
+
+\subsection{R-kode}
+Listing~\ref{lst:task12-r} viser delen av R-skriptet som løser bokoppgavene 1c og 1d.
+
+\begin{listing}[H]
+\begin{minted}{r}
+task_1c <- data.frame(
+  x = c(2, 3, 4, 6),
+  y = c(10, 8, 8, 7)
+)
+
+fit_1c <- fit_simple_regression(task_1c$x, task_1c$y, nu0 = 4 - 2, SS0 = 0.5^2 * (4 - 2))
+print_regression_summary(
+  label = "Task 1: Chapter 17, problem 1c",
+  fit = fit_1c,
+  x_eval = mean(task_1c$x),
+  level_y = 0.95,
+  level_pred = 0.95
+)
+
+task_1d <- data.frame(
+  x = c(0, 1, 2, 3),
+  y = c(0, 2, 7, 5)
+)
+
+fit_1d <- fit_simple_regression(task_1d$x, task_1d$y, nu0 = -2, SS0 = 0)
+print_regression_summary(
+  label = "Task 2: Chapter 17, problem 1d",
+  fit = fit_1d,
+  x_eval = mean(task_1d$x),
+  level_y = 0.90,
+  level_pred = 0.95
+)
+\end{minted}
+\caption{R-kode for bokoppgavene 17.1c og 17.1d}
+\label{lst:task12-r}
+\end{listing}